Chapter 3 · In-text numericalsTextbook pages 54, 62–67

In-text Numericals – Solutions ചലനനിയമങ്ങൾ – ചോദ്യങ്ങൾ

Every ❓ calculation that sits inside the text of this chapter, worked in exam layout – Given (with units) → Formula → Substitution → Answer with unit. Try each one in your notebook first, open the hint if you are stuck, then step through the animation and check the final answer.

📖 What you need (pages 2, 5, 8 and 9 of this guide)

Problem 1 · 100 N east, 150 N west (page 54)

N1. ഒരു വസ്തുവിൽ കിഴക്ക് ദിശയിൽ 100 N ബലവും പടിഞ്ഞാറ് ദിശയിൽ 150 N ബലവും പ്രയോഗിച്ചാൽ പരിണതബലം എത്രയായിരിക്കും? A force of 100 N towards the east and a force of 150 N towards the west act on an object. What will the resultant force be?

The two forces are in opposite directions, so you must not just add 100 and 150. Call east positive; then the westward force is −150 N. Add with the signs.

🎬 Solution animation – forces as arrows
🧪 Try other numbers – two opposite forces on one object

Make the two forces equal: the resultant becomes zero – the forces are balanced സന്തുലിതബലങ്ങൾ.

Answer: Taking east as positive, F₁ = +100 N and F₂ = −150 N.
Resultant F = F₁ + F₂ = 100 N + (−150 N) = −50 N.
The minus sign means “opposite to the positive direction”, so the resultant force is 50 N towards the west.
⚠️ Common trap

Writing 100 + 150 = 250 N. Forces in opposite directions partly cancel. Also, do not stop at “−50 N” – the examiner wants the direction in words: 50 N towards the west.

💡 Why this matters

This is the tug of war at an Onam game: the rope moves towards the team whose pull is bigger, and it moves because of the difference of the two pulls – the resultant.

Problem 2 · 200 N one way, 250 N the other (page 62)

N2. ഒരു വസ്തുവിൽ 200 N ബലം ഒരു ദിശയിലും 250 N ബലം എതിർ ദിശയിലും നൽകിയാൽ a) പരിണതബലം കണക്കാക്കുക. b) വസ്തു ചലിക്കുമെങ്കിൽ അത് ഏത് ദിശയിലായിരിക്കും? A force of 200 N is applied on an object in one direction and a force of 250 N in the opposite direction.

  1. Calculate the resultant force.
  2. If the object moves, in which direction will it move?

Same method as Problem 1. Take the direction of the 200 N force as positive. An object starts to move in the direction of the resultant (unbalanced) force.

🎬 Solution animation
Answer: Take the direction of the 200 N force as positive.
(a) Resultant = 200 N + (−250 N) = −50 N, i.e. a resultant of 50 N in the direction of the 250 N force.
(b) The object moves in the direction of the 250 N force (the direction of the resultant).
⚠️ Common trap

“The object moves in the direction of the bigger force with 250 N.” No – it is pushed by only the difference, 50 N. (On a real floor, it moves only if this 50 N is more than the friction.)

Problem 3 · Three momentum questions (page 63)

N3.

  1. 200 kg മാസുള്ള ഒരു വസ്തു 16 m/s പ്രവേഗത്തിൽ ചലിക്കുന്നു. ഈ വസ്തുവിന്റെ മൊമെന്റം കണക്കാക്കുക.An object of mass 200 kg moves with a velocity of 16 m/s. Calculate its momentum.
  2. ഒരു വസ്തുവിന്റെ മൊമെന്റം 200 kgm/s ആണ്. ഈ വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം 20 m/s എങ്കിൽ വസ്തുവിന്റെ മാസ് എത്ര?The momentum of an object is 200 kg m/s. If its velocity is 20 m/s, what is its mass?
  3. 60 g മാസ് ഉള്ള ഒരു വെടിയുണ്ട 200 m/s പ്രവേഗത്തിൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ മൊമെന്റം കണക്കാക്കുക. ഈ വെടിയുണ്ട നിശ്ചലാവസ്ഥയിലായിരിക്കുമ്പോഴുള്ള മൊമെന്റമെത്ര?A bullet of mass 60 g travels at 200 m/s. Calculate its momentum. What is its momentum when it is at rest?

All three use p = mv. For (b) rearrange it: m = p/v. For (c) first change 60 g into kilograms (divide by 1000).

🎬 Solution animation – p = mv three ways
🧪 Try other numbers – which has more momentum?

A light object can beat a heavy one if it is fast enough – momentum depends on both mass and velocity.

Answer:
(a) p = mv = 200 kg × 16 m/s = 3200 kg m/s.
(b) m = p/v = 200 kg m/s ÷ 20 m/s = 10 kg.
(c) m = 60 g = 60/1000 kg = 0.06 kg. p = 0.06 × 200 = 12 kg m/s. At rest v = 0, so p = 0.06 × 0 = 0 – an object at rest has no momentum.
⚠️ Common trap

Using 60 instead of 0.06 in (c) gives 12000 kg m/s – a thousand times too big. Convert grams to kilograms before you multiply.

Problem 4 · 100 kg from rest to 30 m/s in 4 s (page 64)

N4. 100 kg മാസുള്ള ഒരു വസ്തു നിശ്ചലാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ചലനം ആരംഭിച്ച് നാലാം സെക്കന്റിൽ 30 m/s പ്രവേഗം കൈവരിക്കുന്നു. എങ്കിൽ ഈ വസ്തുവിന്റെ a) ആദ്യമൊമെന്റമെത്ര? b) അന്ത്യമൊമെന്റമെത്ര? c) മൊമെന്റവ്യത്യാസമെത്ര? d) മൊമെന്റവ്യത്യാസനിരക്കെത്ര? An object of mass 100 kg starts from rest and reaches a velocity of 30 m/s in 4 seconds. Find its

  1. initial momentum ആദ്യമൊമെന്റം
  2. final momentum അന്ത്യമൊമെന്റം
  3. change in momentum മൊമെന്റവ്യത്യാസം
  4. rate of change of momentum മൊമെന്റവ്യത്യാസനിരക്ക്

“Starts from rest” means u = 0. Initial momentum = mu, final = mv, change = mv − mu, rate = change ÷ time. It is exactly the 20 kg example on page 63 with new numbers.

🎬 Solution animation – momentum against time
Answer: m = 100 kg, u = 0, v = 30 m/s, t = 4 s.
(a) Initial momentum = mu = 100 × 0 = 0.
(b) Final momentum = mv = 100 × 30 = 3000 kg m/s.
(c) Change in momentum = mv − mu = 3000 − 0 = 3000 kg m/s.
(d) Rate of change of momentum = 3000 ÷ 4 = 750 kg m/s² (= 750 N, the unbalanced force that acted).
💡 Why this matters

The rate of change of momentum, 750 kg m/s², is the force: by the second law it equals 750 N. Every second the force adds the same 750 kg m/s of momentum – that is why the graph is a straight line.

Problem 5 · Two quick F = ma questions (page 65)

N5.

  1. 12 kg മാസുള്ള ഒരു വസ്തു 4 m/s² ത്വരണത്തോടു കൂടി ചലിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ആ വസ്തുവിൽ പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ബലം കണക്കാക്കുക.An object of mass 12 kg moves with an acceleration of 4 m/s². Calculate the force acting on it.
  2. 20 kg മാസുള്ള ഒരു വസ്തുവിൽ 40 N ബലം പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നാൽ ഉണ്ടാകുന്ന ത്വരണമെത്ര?A force of 40 N keeps acting on an object of mass 20 kg. What acceleration is produced?

F = ma. For (b) divide: a = F/m. Remember 1 N = 1 kg m/s².

🎬 Solution animation
🧪 Try other numbers – F = ma lab

Double the force → double the acceleration. Double the mass → half the acceleration.

Answer:
(a) F = ma = 12 kg × 4 m/s² = 48 N.
(b) a = F/m = 40 N ÷ 20 kg = 2 m/s².

Problem 6 · A 1000 kg vehicle brakes from 90 km/h (page 65)

N6. 1000 kg മാസുള്ള ഒരു വാഹനം 90 km/h പ്രവേഗത്തിൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു. 5 s സമയത്തേക്ക് ബ്രേക്ക് പ്രയോഗിച്ചപ്പോൾ വാഹനം നിശ്ചലമായി എങ്കിൽ പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടിരുന്ന ബലമെത്ര? A vehicle of mass 1000 kg is moving with a velocity of 90 km/h. When the brakes are applied for 5 s, it comes to rest. What force was acting on it?
പ്രയോഗിക്കുന്ന ബലത്തിന് എന്തിനാണ് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം? Why does the force have a negative sign?

Convert 90 km/h into m/s first (× 5/18). “Comes to rest” means v = 0. Then F = m(v − u)/t. Take the direction of motion as positive.

🎬 Solution animation – braking
🧪 Try other numbers – car, autorickshaw or a loaded KSRTC bus

A heavier vehicle or a higher speed needs a bigger braking force – or a longer time (and distance) to stop. That is why overloading and overspeeding are dangerous.

Answer: u = 90 km/h = 90 × 5/18 = 25 m/s; v = 0; m = 1000 kg; t = 5 s. Direction of motion = positive.
F = ma = m(v − u)/t = 1000 × (0 − 25)/5 = −5000 N.
Why negative? Force is a vector (സദിശ അളവ്). The minus sign shows that the force acts opposite to the direction in which the vehicle is moving – it is a braking (retarding) force of 5000 N.
⚠️ Common trap

Putting 90 straight into the formula gives −18000 N. Speeds in km/h must be changed to m/s: 90 km/h = 25 m/s.

Problem 7 · 10 kg from 6 m/s to 18 m/s in 4 s (page 66)

N7. 10 kg മാസുള്ള വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം 4 s കൊണ്ട് 6 m/s ൽ നിന്നും 18 m/s ആയി മാറുന്നു. a) മൊമെന്റവ്യത്യാസനിരക്കെത്ര? b) ഇവിടെ പ്രയോഗിച്ച ബലമെത്ര? c) വസ്തുവിന്റെ ത്വരണമെത്ര? d) 6 s സമയത്തേക്ക് ഈ ബലം പ്രയോഗിച്ചാൽ വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം എത്രയാകും? The velocity of an object of mass 10 kg changes from 6 m/s to 18 m/s in 4 s.

  1. What is the rate of change of momentum?
  2. What force was applied?
  3. What is the acceleration of the object?
  4. If this force is applied for 6 s, what will the velocity of the object become?

Rate = m(v − u)/t. The force equals the rate of change of momentum. a = F/m. For (d) use v = u + at with u = 6 m/s and t = 6 s.

🎬 Solution animation – velocity–time graph
🧪 Try other numbers – how long does the 30 N force act?
Answer: m = 10 kg, u = 6 m/s, v = 18 m/s, t = 4 s.
(a) Rate of change of momentum = m(v − u)/t = 10 × (18 − 6)/4 = 120/4 = 30 kg m/s².
(b) Force F = rate of change of momentum = 30 N.
(c) a = F/m = 30 N ÷ 10 kg = 3 m/s².
(d) v = u + at = 6 + 3 × 6 = 24 m/s.
⚠️ Common trap

In (d), starting from 0 instead of 6 m/s (3 × 6 = 18 m/s). The object was already moving at 6 m/s when the force began.

Problem 8 · A 7 kg shot put rolls to a stop (page 66)

N8. 7 kg മാസുള്ള ഒരു ഷോട്ട് നിരപ്പായ ഒരു മൈതാനത്തിൽ കൂടി 2 m/s പ്രവേഗത്തോടെ ഉരുട്ടി വിട്ടപ്പോൾ 5 s കൊണ്ട് നിശ്ചലമായി. a) ഈ ഷോട്ടിനെ നിശ്ചലമാക്കിയ ബലമേത്? b) ബലത്തിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക. A shot put of mass 7 kg is rolled along a level ground with a velocity of 2 m/s and comes to rest in 5 s.

  1. Which force brought the shot put to rest?
  2. Calculate the magnitude of the force.

Nobody pushes it backwards – what force always acts between a rolling object and the ground? Then use F = m(v − u)/t with v = 0.

🎬 Solution animation – friction stops the ball
Answer: (a) The friction (ഘർഷണം) between the ground and the shot put (with a little air resistance) – an unbalanced external force acting opposite to its motion.
(b) m = 7 kg, u = 2 m/s, v = 0, t = 5 s; direction of rolling = positive.
F = m(v − u)/t = 7 × (0 − 2)/5 = −14/5 = −2.8 N, i.e. a force of 2.8 N opposite to the motion.
💡 Why this matters

Galileo's idea in numbers: without this 2.8 N of friction, the shot put would roll on for ever at 2 m/s (first law).

Problem 9 · Catching a 200 g ball at 30 m/s (page 67)

N9. 200 g മാസുള്ള ഒരു പന്ത് 30 m/s പ്രവേഗത്തിൽ ചലിക്കുന്നു. ഒരാൾ ഈ പന്ത് പിടിക്കുന്നു. a) പന്തിനെ പിടിച്ച് നിശ്ചലമാക്കാനെടുത്ത സമയം താഴെ കൊടുത്ത പ്രകാരമെങ്കിൽ ഓരോ സന്ദർഭത്തിലും കൈയിൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന ബലം എത്രയായിരിക്കും? i) 0.3 s ii) 0.2 s iii) 0.1 s b) ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങളിലെല്ലാം ബലത്തിന്റെ അളവ് നെഗറ്റീവാണല്ലോ. ഇത് എന്തിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു? c) ഈ ഉത്തരങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്ത് ഒരു പൊതുനിഗമനം രൂപീകരിക്കുക. A ball of mass 200 g moves with a velocity of 30 m/s. A person catches it.

  1. If the time taken to catch the ball and bring it to rest is (i) 0.3 s (ii) 0.2 s (iii) 0.1 s, what force is felt in the hand in each case?
  2. All your answers for the force are negative. What does this indicate?
  3. Analyse these answers and arrive at a general conclusion.

200 g = 0.2 kg. The change in momentum is the same in all three cases: m(v − u) = 0.2 × (0 − 30). Divide it by each time.

🎬 Solution animation – same Δp, three stopping times
🧪 Try other numbers – stopping time and force

Halve the time and the force doubles. The curve never touches the axes: a “zero-time” stop would need an infinite force. More on this on the next page – impulse.

Answer: m = 200 g = 0.2 kg, u = 30 m/s, v = 0; direction of the ball's motion = positive.
Change in momentum = m(v − u) = 0.2 × (0 − 30) = −6 kg m/s (the same in every case). F = m(v − u)/t:
(a) (i) t = 0.3 s: F = −6/0.3 = −20 N (ii) t = 0.2 s: F = −6/0.2 = −30 N (iii) t = 0.1 s: F = −6/0.1 = −60 N.
(b) The negative sign shows that the force acts opposite to the direction of motion of the ball – the hand pushes back on the ball to stop it. (By the third law, page 12, the ball pushes on the hand with an equal force in its own direction – that is what you feel.)
(c) For the same change in momentum, the longer the time taken, the smaller the force (F ∝ 1/t).
💡 Why this matters

This is why a fielder at a cricket match draws the hands back while catching: stretching the stop from 0.1 s to 0.3 s cuts the force on the palms from 60 N to 20 N. The next page explains it with impulse.

Check yourself

Next: Impulsive force and impulse ▶